LAS FUNCIONES EN LA CIENCIA

LAS FUNCIONES EN LA CIENCIA

INTRODUCCIÓN

 Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo. Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes.

Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a y t; en particular, d = a•t2/2. Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números En el estudio de las funciones hay que buscar las relaciones entre sus expresiones algebraicas y sus representaciones gráficas. Un problema muy común que hay que resolver en determinadas situaciones es averiguar la gráfica de una función conocida su fórmula algebraica.

 Pero por otra parte conviene tener muy claros ciertos conceptos que ayudan, no sólo a realizar dicha representación, sino también a entender o interpretar la gráfica de una función dada. La noción y el cálculo de límites son fundamentales tanto para el estudio de la continuidad de funciones como para la obtención de sus ramas infinitas, lo cual ayuda sobremanera a la representación de su gráfica. Uno de los temas más interesantes del estudio del análisis de funciones es la representación de funciones de una variable.

Y entre los cálculos que se entienden necesario para recopilar datos suficientes para la representación se encuentra el cálculo de las asíntotas de la función. Importancia de las funciones en las ciencias Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

 Una función es una correspondencia matemática entre dos conjuntos de valores. Sean los conjuntos X los valores de una variable independiente; una función asigna para cada valor de dicho conjunto SOLO UN VALOR de otro conjunto llamado Y.

 Una función está formada por: a) Un primer conjunto llamado dominio de la función. b) Un segundo conjunto llamado codominio/rango de la función. c) Una regla de correspondencia que tiene las siguientes propiedades: 1) Por medio de esta regla de correspondencia a todo elemento del dominio de la función se le puede asociar un elemento del codominio/rango. 2) Ningún elemento del dominio ha de quedarse sin su asociado en el codominio/rango. 3) Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio/rango. Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso. Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R. Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6" Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores. f: R ——> R / f(x) = 2x-6 Le vamos dando valores a "x". ¿Que valores le podemos dar? Cualquiera que este dentro del dominio. Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6 f(5) = 4 Entonces al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4). ¿Cómo se coloca en un par de ejes coordenados? ¿Qué tal si repasamos esto? Función constante: La función constante es aquella en la que todos los valores del dominio se asocian con un único valor del codominio. En este caso, su dominio está constituido por el conjunto de los números reales y su recorrido consta únicamente del valor. La gráfica de la función constante es una recta paralela al eje de las abscisas, con ordenada, como se ve en la figura. Función identidad: La función identidad es la que tiene como dominio al conjunto de los números reales y en la que para cada valor de la variable independiente le corresponde el mismo valor de la variable dependiente y, de modo que su recorrido es también el conjunto de los números reales. Función valor absoluto La función valor absoluto es la que tiene como dominio al conjunto de los números reales y en la que para cada valor de la variable independiente le corresponde no necesariamente el mismo valor de la variable dependiente, de modo que su recorrido no es el conjunto de los números reales, es el conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero. Comúnmente la función valor absoluto se representa como: La gráfica de la función valor absoluto es una recta con valor absoluto que pasa por el origen y forma un ángulo de del lado izquierdo y del lado derecho. Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante.

Funciones algebraica

En  las  funciones  algebraicas  las  operaciones  que hay  que  efectuar con  la  variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

v   Funciones explícitas. Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. Se conoce como explícita una función cuando se tiene despejada la variable dependiente y términos de la variable independiente x.

Una función es explicita cuando en la ecuación que actúa como regla de correspondencia, se tiene despejada la variable dependiente y términos de la variable independiente x.

La función y=f(x)=3x2  +2x+1 es una función explicita, dado que la ecuación, es la regla correspondencia, permite calcular directamente para cualquier valor “x” del dominio, su imagen correspondiente “y” en el contra dominio.

Ejemplo. La función y=f(x)=3x2 +2x+1 es una función explicita

f(x) = 5x − 2

v   Funciones implícitas. Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Implícita: Cuando se encuentra una función de la forma f(y,x) donde no se tiene despejada la variable dependiente, se considera una función implícita.

Considérese ahora a f(x,y)como representación de una expresión en x, y; en tal forma que f(x,y)=0..(1)es una ecuación en x,y no resuelta para y La ecuación 2x2 –2xy+y2 -1=0..(a) Es una ecuación del tipo f(x,y)=0...(1)Donde f(x,y)=2x2-2x+y2-1

Se despeja la ecuación en este caso de segundo grado en “y”

y2-2xy+(2x2-1)=0

Donde

Y=2x     4x2-4(2x2-1) =x  1/2  4-4x2

2

las soluciones de dicha ecuación son y=x      1-x2                       (a)

dado  que  hay  dos  valores  de  “y”  para  cada  valor  de  “x”  en  el  intervalo  abierto(-1,1),  la ecuación (a) especifica una relación multiforme ,pero no una función.

Una  función  implícita  se  caracteriza  porque  en  la  ecuación  que  actúa  como  regla  de correspondencia, la variable dependiente y no se encuentra despejada.

Ejemplo. La función f(x,y) = 2x2-2x+y2-1 = 0; es una función implícita, ya que no tiene despejada la variable dependiente.

Ejemplo. Los equipos participantes en la Primera División de la Liga Mexicana de Futbol está dividido en tres grupos; dependiendo de cuál sea el equipo se le asigna un grupo (números de grupo: 1, 2 y 3).

Identificar:

a) Identifica la variable dependiente e independiente, según la regla indicada b) Si es una función y porque.

c) Identifica el dominio y la imagen en caso de ser una función

Solución:

a) La regla indicada muestra a los equipos como la variable independiente: x; ya que dependiendo  de qué equipo se trate, se le asigna un grupo;  es decir:  los grupos f(x) son la variable dependiente.

b) Si es una función, ya que cada equipo tiene asignado solo un grupo. c) El dominio y la imagen son:

D={América, Atlante, Morelia, Sinaloa, UAG, UNAM, Atlas, C Azul, Guadalajara,

Puebla, Toluca, UANL, Chiapas, Monterrey, Necaxa, Pachuca, Santos, Veracruz} I={1,2,3}

Funciones   polinómicas.   Son   las   funciones   que   vienen   definidas   por   un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es       , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones trascendente

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

  Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

  Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

  Funciones trigonométricas

Función seno                      f(x) = sen x Función coseno    f(x) = cos x Función tangente                f(x) = tg x Función cosecante                             f(x) = cosec x Función secante                                                    f(x) = sec x Función cotangente                                                    f(x) = cotg x

Funciones elementales (lineales y cuadráticas)

Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.

Una  función  lineal  es  una  función  cuyo  dominio  son  todos  los  números  reales,  cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

f: R —> R  / f(x) = a.x+b  donde a y b son números reales, es una función lineal.

Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b

Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,  g: g(x) = -3x+7,  h: h(x) = 4

Las funciones lineales son polinomios de primer grado. Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.

Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7        b(x) = -4x+3    f(x) = 2x + 5 + 7x - 3

De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla,   f(x) =

9x + 2

Función máximo entero.

Conclusión

Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en que son muy importantes,  de  mucho  valor  y utilidad para  resolver problemas de  la  vida  diaria, problemas    de finanzas,    de economía,    de estadística,    de ingeniería,    de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

Cuando  se  va  al mercado o  a  cualquier  centro  comercial,  siempre  se  relaciona  un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia  en  una  ecuación  de  función  "x"  como  el precio y  la  cantidad de producto como "y".

Además a través de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función.

Creo que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple   la   consiga   en   cuanto   a   la información teórica,   y   creo   que   también esta monografía nos será útil en la practica.

Fuente: UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS

CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS

MARÍA ANGÉLICA VELEPUCHA SÁNCHEZ

Aporte.